a)Theo bài ra => Tam giác ABC vuông cân ở A

M(1;-1) là trung điểm BC và G\(\left(\dfrac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm

=>\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}\)

Giả sử A có tọa độ (a;b)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-a=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}-a\right)\\-1-b=-\dfrac{2}{3}b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{3}\\b=-3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A\left(\dfrac{5}{3};-3\right)\)

b)Do tam giác ABC vuông cân ở A=>GM vuông góc với BC

Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\left(\dfrac{1}{3};-1\right)\)=>VTPT của đường thẳng BC là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)\) có M(1;-1) thuộc BC

=>phương trình đường thẳng BC:

1(x-1)-3(y+1)=0

hay x-3y-4=0

=> phương trình tham số của BC:\(\left\{{}\begin{matrix}x=3t+4\\y=t\end{matrix}\right.\)

=> tồn tại số thực t để B(3t+4;t) thuộc đường thẳng BC

MB=MA(do tam giác ABC vuông cân ở A,M là trung điểm BC)

=>\(\overrightarrow{MB}^2=\overrightarrow{MA}^2\)

=>(3t+3)²+(t+1)²=\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-2\right)^2=\dfrac{40}{9}\)

=> \(t=-\dfrac{1}{3}\)hoặc \(t=-\dfrac{5}{3}\)

TH1: \(t=-\dfrac{1}{3}\)=>B\(\left(3;-\dfrac{1}{3}\right)\) ,do M(1;-1) là trung điểm BC=>C\(\left(-1;-\dfrac{5}{3}\right)\)

TH2:\(t=-\dfrac{5}{3}\)=>B\(\left(-1;-\dfrac{5}{3}\right)\),do M(1;-1) là trung điểm BC=>C\(\left(3;-\dfrac{1}{3}\right)\)

c) Tam giác ABC vuông cân ở A=>M(1;-1) là tâm đường tròn ngoại tiếp và MA là bán kính=>R²=MA²=\(\dfrac{40}{9}\)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

(C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=\dfrac{40}{9}\)

Vì M(1;-1) là trung điểm BC và \(G\left(\frac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\) từ đó tìm được A(0;2)

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(BC\perp MA\) tức là đường thẳng BC đi qua M(1;-1), nhận \(\overrightarrow{MA}=\left(-1;3\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.

Do đó đường thẳng BC có phương trình  \(-1\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=0\)

                                                           hay  \(-x+3y+4=0\)

Do tam giác ABC vuông tại A nên MB=MC=MA=\(\sqrt{10}\)

Suy ra B, C nằm trên đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)

Từ đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình 

\(\begin{cases}-x+3y+4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)

Giải hệ phương trình thu được (x;y) = (4;0) và (x;y) = (-2;2)

Vậy A(0;2), B(4; 0), C(-2;-2)

Đáp án : D

n

Chọn A

Phân tích.

     - Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A:x-3y+5=0 , giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.

     - Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.

     - Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.

     - Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.